Introduzione ai concetti di coefficiente di permeabilità e gradiente idraulico

Il coefficiente di permeabilità è il parametro che indica con quale facilità un terreno si lascia attraversare dall’acqua. Se l’acqua riesce a fluire con facilità attraverso i pori di un terreno, questo viene definito molto permeabile ed il suo coefficiente di permeabilità sarà elevato. Se al contrario il terreno oppone una forte resistenza al movimento dell’acqua, allora il terreno viene definito scarsamente permeabile e in questo caso il coefficiente di permeabilità sarà molto piccolo.
Il coefficiente di permeabilità ha le dimensioni di una velocità e di preferenza come unità di misura viene utilizzato il metro/sec.
Fra i parametri idrogeologici è sicuramente quello con la maggiore variabilità. In natura può assumere valori da minori di 1·10^-8 m/sec a maggiori di 1·10^-2 m/sec e pertanto si può dire esistono in natura terreni che sono 1.000.000 di volte più permeabili di altri.
Il gradiente idraulico è invece il parametro che quantifica la forza motrice che permette all’acqua di spostarsi da un punto all’altro dell’acquifero vincendo la resistenza opposta dal terreno.

Fig. 1 – Visualizzazione dei concetti di gradiente idraulico e coefficiente di permeabilità tramite un esempio basato su un corpo che si muove su un piano inclinato immerso in un fluido viscoso.

Per capire in modo intuitivo il rapporto fra gradiente idraulico, coefficiente di permeabilità e filtrazione dell’acqua può essere utile immaginare un piano inclinato immerso in un acquario sul quale si muove una pallina d’acciaio (fig. 1). L’inclinazione del piano inclinato corrisponde al gradiente idraulico, la viscosità del fluido che riempie l’acquario corrisponde al coefficiente di permeabilità e la velocità della pallina corrisponde alla velocità di filtrazione dell’acqua nel terreno. La velocità della pallina aumenta all’aumentare dell’inclinazione del piano e al diminuire della viscosità del fluido. A parità di inclinazione del piano la pallina scende più velocemente se l’acquario è riempito con acqua e scende più lentamente se l’acquario è riempito con olio. Analogamente la velocità di filtrazione dell’acqua nel terreno, e quindi la portata di filtrazione, aumenta all’aumentare del gradiente idraulico e all’aumentare del coefficiente di permeabilità. Se il gradiente idraulico è nullo, situazione che nell’esempio equivarrebbe ad un piano orizzontale, manca la forza motrice e quindi non c’è movimento d’acqua a prescindere dal valore del coefficiente di permeabilità.
Uno dei sistemi più immediati per capire il concetto di coefficiente di permeabilità e di gradiente idraulico è ripercorrere l’esperimento condotto nel 1856 da Darcy. Per facilitare la comprensione del fenomeno si immaginerà di usare uno strumento analogo a quello realmente utilizzato, ma visivamente più intuitivo nel funzionamento.

L’esperimento di Darcy

Fig. 2 – Schema semplificato dell’apparato utilizzato da Darcy per condurre gli esperimenti sulla filtrazione in sabbia.

L’apparato utilizzato da Darcy per l’esperimento ^[1]Darcy H. (1856): Les Fontaines Publiques de la Ville de Dijon. Dalmont (Parigi) consiste in un tubo verticale di 2.5 metri di altezza e 0.35 metri di diametro (fig. 2).
Alla base del tubo è presente una griglia che la ha funzione di sostenere la sabbia e alle estremità superiori ed inferiori del tubo sono installati due manometri ad U riempiti di mercurio per la misurazione della pressione dell’acqua. Il tubo viene riempito di sabbia e la parte superiore della colonna viene alimentata con acqua.
Nella prova condotta da Darcy l’alimentazione era garantita da un allacciamento all’impianto idrico di un ospedale posto nelle vicinanze del luogo dell’esperimento.
Una saracinesca sul tubo di collegamento permette di modificare il flusso dell’acqua e di regolarne di conseguenza la pressione.
L’acqua immessa nella parte superiore della colonna, dopo aver filtrato attraverso la sabbia, fuoriesce dalla parte inferiore e viene raccolta in un recipiente di misura. Per condurre l’esperimento si procede nel modo seguente:

si regola l’apertura della saracinesca del tubo di immissione d’acqua;
si attende che la pressione nei due manometri si stabilizzi;
raggiunta la stabilizzazione si procede a misurare con metodo volumetrico la portata.

Una volta calcolata la portata di deflusso si apre leggermente la saracinesca e si procede ad una nuova misurazione.
Operando in questo modo è possibile individuare la relazione fra portata di deflusso e differenza di pressione alle estremità della colonna di sabbia.

Versione semplificata dell’esperimento di Darcy

Fig. 3 – Schema dell’apparecchio utilizzato nell’esempio per illustrare i concetti di gradiente idraulico e coefficiente di permeabilità.

Per comprendere in modo agevole i concetti di gradiente idraulico e di coefficiente di permeabilità può essere utile ripercorrere idealmente l’esperimento di Darcy immaginando di utilizzare lo strumento rappresentato in figura 3.
L’apparecchio è costituito da un tubo sagomato come da figura riempito di sabbia al centro, nella parte orizzontale. Il cilindro di sabbia, lungo 0.5 metri, è mantenuto in posizione per merito di due griglie che hanno unicamente la funzione meccanica di mantenere il cilindro in posto e che non alterano in alcun modo il processo di filtrazione dell’acqua. Il cilindro verticale di sinistra è dotato di uno sfioratore e viene costantemente alimentato. Procedendo in questo modo il livello dell’acqua nel cilindro non si modifica sia in presenza, sia in assenza di filtrazione. In assenza di filtrazione tutta l’acqua immessa esce dallo sfioratore, mentre in presenza di filtrazione fuoriesce dallo sfioratore la differenza fra l’acqua immessa e l’acqua che transita attraverso il provino di sabbia. Per merito di questo dispositivo il carico idraulico sulla superficie sinistra del cilindro di sabbia non varia nel corso dell’esperimento e pertanto questa superficie può essere definita a carico idraulico costante. Prendendo a riferimento la figura 3, il valore del carico idraulico risulta di 0.6 metri.
Il cilindro verticale di destra è munito di 4 sfioratori, posti ad una quota di 0.3, 0.4, 0.5 e 0.6 metri dalla base dell’apparecchio, che possono essere aperti o chiusi. L’acqua in uscita dagli sfioratori può essere raccolta in un recipiente graduato e la portata di filtrazione misurata mediante metodo volumetrico.
Nelle condizioni iniziali si immagina che sia aperto il primo sfioratore e in queste condizioni il livello dell’acqua nel tubo verticale di sinistra è uguale al livello dell’acqua nel tubo verticale di destra. Visto che non esiste differenza di carico idraulico fra le estremità del cilindro di sabbia, non si può innescare alcun fenomeno di filtrazione e la portata defluita attraverso il provino è nulla. Se si apre il secondo sfioratore l’acqua, nel cilindro di destra si abbassa e di conseguenza fra le estremità del cilindro si genera una differenza di carico idraulico, che nel caso dell’esempio risulta di 0.1 metri. La differenza di carico idraulico innesca un processo di filtrazione e l’acqua defluita può essere misurata tramite il recipiente graduato. Procedendo in modo analogo si aprono il terzo e poi il quarto sfioratore e si osserva che all’aumentare della differenza di carico idraulico fra le estremità del cilindro aumenta la portata di filtrazione.
La figura 4, che riporta con una linea di colore rosso il grafico dei risultati di questo ipotetico esperimento, mostra che esiste una proporzionalità fra la portata di deflusso Q e la differenza di carico idraulico Δh, cioè:

$Q \propto \Delta h$

Fig. 4 – Relazione fra portata e perdita di carico idraulico ottenuta mediante l’apparecchio di figura 3. Sull’asse verticale è indicata la portata di filtrazione in m3/sec e sull’asse orizzontale la perdita di carico alle estremità del cilindro espressa in metri. Con i colori rosso, blu e giallo sono indicati rispettivamente le simulazioni con provino lungo 0,5, 0,25 e 1,0 metri. A destra: grafico dei risultati; a sinistra: tabella dei dati.

Se si ripete l’esperimento dimezzando la lunghezza del cilindro, cioè portandolo da 0.5 metri a 0.25 metri, si ottengono i risultati riportati nel grafico in colore blu mentre se si raddoppia la lunghezza del cilindro di sabbia portandolo da 0.5 metri ad un metro, si ottengono i risultati indicati in colore giallo.
Dall’esame del grafico emerge che, a parità di perdita di carico, raddoppiando la lunghezza L del cilindro si dimezza la portata Q di deflusso e pertanto

$Q \propto \frac{1}{L}$

Definendo il gradiente idraulico i come il rapporto fra la perdita di carico fra due punti e la distanza che li separa si ottiene

$i = \frac{\Delta h}{L}$

e pertanto si ricava

$Q \propto i$

Questa relazione sintetizza uno dei principi fondamentali dell’idrogeologia, cioè la proporzionalità fra portata di filtrazione e gradiente idraulico. A parità di condizioni, quindi, se si raddoppia il gradiente idraulico si raddoppia la portata di filtrazione.
Facendo riferimento alla figura 3, si può immaginare di condurre l’esperimento con un cilindro di sezione maggiore riempito sempre del medesimo materiale. Se si immagina di raddoppiare la superficie di base del cilindro, a parità di lunghezza e di perdita di carico la portata raddoppia. Il fenomeno è di per se abbastanza intuitivo: se a parità di condizioni si raddoppia la sezione interessata dalla filtrazione, la portata si raddoppia. Indicando con A l’area della sezione interessata dalla filtrazione si può quindi scrivere

$Q \propto A \cdot i$

La costante di proporzionalità che definisce la portata drenata in funzione dell’area interessata dalla filtrazione e del gradiente idraulico prende il nome di coefficiente di permeabilità e si indica con la lettera k.
Si può quindi scrivere:

$Q = k \cdot i \cdot A$

Questa relazione può essere definita l’equazione fondamentale dell’idrogeologia e rappresenta il punto di partenza per lo sviluppo di una serie di formule di notevole importanza pratica.
Dalla tabella dell’esperimento idealmente illustrato in precedenza è possibile ricavare il valore del coefficiente di permeabilità della sabbia contenuta nel cilindro.
Ipotizzando che il provino abbia un diametro di 0,2 metri e quindi un’area di 0,0314 m², utilizzando i dati riportati in colore rosso in tabella si ottiene.