La formula di Hazen

La formula di Hazen ^[1]Hazen A. (1911): Discussion of Dams on sand foundations. Trans. Am. Soc. Civ. Eng 73, pp 199-203^[2]Hazen A. (1892): Some physical properties of sands and gravels, with special reference to their use in filtration. 24th Annual Rep., Massachusetts State Board of Health, Pub. Doc. No. 34, pp 539-556 è una relazione sperimentale che lega la permeabilità di un terreno alla granulometria ed è ampiamente documentata in numerose pubblicazioni di idrogeologia. A titolo di esempio si trova citata in ^[3]Custodio E. (2005): Teoria elementare di fluodinamica in mezzi porosi. In: Idrologia sotterranea, a cura di: Custodio E., Llamas M.R.. Dario Flaccovio Editore (Palermo), pp 429-586 – ISBN … Continue reading^[4]Peck R.B., Terzaghi K. (1974): Geotecnica. UTET (Torino), pp 1-643 – ISBN 88-02-03010-3^[5]Colleselli F., Colombo P. (1996): Elementi di Geotecnica. Zanichelli (Bologna), pp 1-500 – ISBN 88-08-09784-6^[6]Cestelli Guidi C. (1987): Geotecnica e tecnica delle fondazioni. Hoepli, pp 1-864^[7]Luis I. González de Vallejo (2004): Geoingegneria. Pearson Paravia Bruno Mondadori, pp 1-816 – ISBN 8871920945^[8]J. Patrick Powers (1992): Construction dewatering: new methods and applications. John Wiley and Sons, pp 1-492 – ISBN 0471601853^[9]Fred C. Payne, Joseph A. Quinnan, Scott T. Potter (2008): Remediation Hydraulics. CRC Press, pp 1-408 – ISBN 0849372496^[10]Braja M. Das (2008): Advanced soil mechanics. Routledge, pp 1-567 – ISBN 0415420261^[11]Gholamreza Mesri, Karl Terzaghi, Ralph Brazelton Peck (1996): Soil mechanics in engineering practice. Wiley-IEEE, pp 1-549 – ISBN 0471086584^[12]Spigolon S.J. (2001): Geotechnical Engineering. McGraw-Hill Professional, pp 1-350 – ISBN 0071361847^[13]Sarsby R.W. (2000): Environmental geotechnics. Thomas Telford, pp 1-584 – ISBN 0727727524^[14]Dieter D. Genske (2003): Urban land: degradation, investigation, remediation. Springer, pp 1-331 – ISBN 3540438459^[15]Davis, Dewberry (2008): Land Development Handbook. McGraw-Hill Professional, pp 1-1135 – ISBN 0071494375^[16]Martin N. Sara (2003): Site assessment and remediation handbook. CRC Press, pp 1-1160 – ISBN 1566705770^[17]Martin Preene, Pat M. Cashman (2001): Groundwater lowering in construction: a practical guide. Taylor & Francis, pp 1-476 – ISBN 0419211101^[18]Ian L. Pepper, Janick F. Artiola, Mark L. Brusseau (2004): Environmental monitoring and characterization. Academic Press, pp 1-410 – ISBN 0120644770^[19]Kevin Forrester (2001): Subsurface drainage for slope stabilization. ASCE Publications, pp 1-208 – ISBN 0784400164^[20]Venkatramaiah C. (2006): Geotechnical Engineering. New Age International, pp 1-926 – ISBN 8122417930^[21]Arvind V. Shroff, Dhananjay L. Shah (2003): Soil mechanics and geotechnical engineering. Taylor & Francis, pp 1-547 – ISBN 9058092356^[22]Harry R. Cedergren (1997): Seepage, Drainage, and Flow Nets. Wiley-IEEE, pp 1-496 – ISBN 047118053X^[23]Chang-Yu Ou (2006): Deep excavation: theory and practice. Taylor & Francis, pp 1-532 – ISBN 0415403308, 97804^[24]Fell R., Mac Gregor P., Stapledon D. (2005): Geotechnical engineering of dams. CRC Press, pp 1-912 – ISBN 041536440X^[25]Ali Aysen (2002): Soil mechanics: basic concepts and engineering applications. Taylor & Francis, pp 1-468 – ISBN 9058093581^[26]Kasenow M. (2002): Determination of hydraulic conductivity from grain size analysis. Water Resources Publication, pp 1-97 – ISBN 1887201319 e in molti altri testi.

Il principio su cui si basa è illustrato in ^[27]Gholamreza Mesri, Karl Terzaghi, Ralph Brazelton Peck (1996): Soil mechanics in engineering practice. Wiley-IEEE, pp 1-549 – ISBN 0471086584. In un terreno l’acqua di filtrazione si muove attraverso i pori presenti fra i vari granuli seguendo un percorso tortuoso attraverso spazi a volte più ampi e a volte più angusti e, a parità di porosità del terreno, la sezione media di questi spazi vuoti aumenta all’aumentare della granulometria. Prendendo come riferimento una ghiaia e una sabbia pulita, in entrambi i casi l’acqua nel moto di filtrazione dovrà attraversare spazi a volte più ampi e a volte più stretti ma nella ghiaia questi spazi saranno statisticamente molto più ampi rispetto agli analoghi spazi presenti nella sabbia. Visto che le sezioni di queste cavità in cui scorre l’acqua di filtrazione aumentano proporzionalmente al quadrato del diametro delle particelle solide di terreno e visto che per un terreno granulare la permeabilità tende ad essere proporzionale alla sezione degli spazi vuoti, è possibile ricavare una relazione del tipo

che consente di esprimere la permeabilità in funzione del quadrato della dimensione dei granuli del terreno.
Visto che un terreno naturale non è mai monogranulare, sono stati eseguiti una serie di tentativi per verificare quale frazione del terreno consentiva di ottenere la migliore correlazione con la permeabilità. Il valore indicato da Hazen è il D₁₀, cioè la “larghezza della maglia del setaccio che permette il passaggio del 10% in peso del campione di materiale granulare”^[28]Luis I. González de Vallejo (2004): Geoingegneria. Pearson Paravia Bruno Mondadori, pp 1-816 – ISBN 8871920945. Si ottiene pertanto la relazione

comunemente indicata come formula di Hazen.

Il valore della costante di proporzionalità C

Una delle principali fonti di incertezza nell’applicazione della formula di Hazen risiede nella corretta scelta del valore da attribuire alla costante di proporzionalità C e in bibliografia l’indicazione non è univoca. Vista l’ampia diffusione di questa formula molti autori hanno eseguito correlazioni e, in funzione delle caratteristiche dei campioni utilizzati, sono stati ottenuti diversi valori della costante di proporzionalità. Il grafico di figura 1 indica i valori massimo e minimo della costante C suggeriti da una serie di autori. Trattandosi infatti di una relazione sperimentale, i principali autori piuttosto che riportare un valore preciso per la costante C hanno preferito indicare una fascia di riferimento.

Visto che k ha le dimensioni di una velocità [LT^-1] e (D₁₀)² ha le dimensioni di una superficie [L²], la costante C non è un numero puro ma ha le dimensioni [L^-1T^-1]. Per questa ragione per poter eseguire un confronto i dati estratti dalle varie pubblicazioni sono stati convertiti in modo che il coefficiente di permeabilità k fosse sempre espresso in m/sec e il diametro D₁₀ in mm.
Dal grafico emerge una ampia distribuzione dei valori di C e questo elemento rappresenta la maggiore fonte di incertezza nell’utilizzo della formula di Hazen per la determinazione della permeabilità. In mancanza di elementi che conducano ad una scelta differente, in bibliografia si suggerisce generalmente di considerare C=0,01.
Alcuni autori suggeriscono di modificare il valore di C in funzione dell’addensamento e dell’assortimento del terreno esaminato. Ad esempio ^[29]Sarsby R.W. (2000): Environmental geotechnics. Thomas Telford, pp 1-584 – ISBN 0727727524 e ^[30]Davis, Dewberry (2008): Land Development Handbook. McGraw-Hill Professional, pp 1-1135 – ISBN 0071494375 suggeriscono di usare 0,01 per terreni addensati e 0,015 per terreni poco addensati, ^[31]Ali Aysen (2002): Soil mechanics: basic concepts and engineering applications. Taylor & Francis, pp 1-468 – ISBN 9058093581 suggerisce di usare valori da 0,005 per silt e sabbie ben gradate a 0,012 per sabbie uniformi, ^[32]Custodio E. (2005): Teoria elementare di fluodinamica in mezzi porosi. In: Idrologia sotterranea, a cura di: Custodio E., Llamas M.R.. Dario Flaccovio Editore (Palermo), pp 429-586 – ISBN … Continue reading suggerisce di usare C = 0,0046 per le sabbie argillose e C = 0,014 per le sabbie pulite e infine ^[33]Kasenow M. (2002): Determination of hydraulic conductivity from grain size analysis. Water Resources Publication, pp 1-97 – ISBN 1887201319 indica 0,0093 < C < 0,014 per sabbie pulite e omogenee e 0,0046 < C < 0,0093 per sabbie argillose o sabbie non omogenee.

Il campo di applicabilità dell’equazione di Hazen

L’equazione di Hazen è applicabile a terreni granulari sciolti con D₁₀ variabile da 0,1 mm a 3 mm e con coefficiente di uniformità C_U < 5 ^[34]Spigolon S.J. (2001): Geotechnical Engineering. McGraw-Hill Professional, pp 1-350 – ISBN 0071361847^[35]Martin Preene, Pat M. Cashman (2001): Groundwater lowering in construction: a practical guide. Taylor & Francis, pp 1-476 – ISBN 0419211101^[36]Ian L. Pepper, Janick F. Artiola, Mark L. Brusseau (2004): Environmental monitoring and characterization. Academic Press, pp 1-410 – ISBN 0120644770^[37]Kasenow M. (2002): Determination of hydraulic conductivity from grain size analysis. Water Resources Publication, pp 1-97 – ISBN 1887201319^[38]Kevin Forrester (2001): Subsurface drainage for slope stabilization. ASCE Publications, pp 1-208 – ISBN 0784400164^[39]Arvind V. Shroff, Dhananjay L. Shah (2003): Soil mechanics and geotechnical engineering. Taylor & Francis, pp 1-547 – ISBN 9058092356. Il coefficiente di uniformità C_U è definito dalla relazione

dove D₆₀ rappresenta la larghezza della maglia del setaccio che permette il passaggio del 60% in peso del campione di materiale granulare. Una precisazione ulteriore viene fornita da ^[40]Fell R., Mac Gregor P., Stapledon D. (2005): Geotechnical engineering of dams. CRC Press, pp 1-912 – ISBN 041536440X che indica che il passante al setaccio 0.075 mm dovrebbe essere < 5%.
In ^[41]Fred C. Payne, Joseph A. Quinnan, Scott T. Potter (2008): Remediation Hydraulics. CRC Press, pp 1-408 – ISBN 0849372496 vengono indicate condizioni più restrittive con C_U < 2 e 0,10 mm < D₁₀ < 0,70 mm.

Correzione della permeabilità in funzione della temperatura dell’acqua

La formula di Hazen prevede la possibilità di correggere la permeabilità in funzione della temperatura ^[42]W. David Carrier III (2003): Goodbye, Hazen; Hello, Kozeny-Carman. Journal of Geotechnical and Geoenvironmental Engineering 129, pp 1054-1056^[43]Dieter D. Genske (2003): Urban land: degradation, investigation, remediation. Springer, pp 1-331 – ISBN 3540438459^[44]Kasenow M. (2002): Determination of hydraulic conductivity from grain size analysis. Water Resources Publication, pp 1-97 – ISBN 1887201319. Nella sua versione completa la formula risulta infatti:

dove T rappresenta la temperatura dell’acqua in gradi centigradi. Visto che il livello di indeterminatezza insito nella scelta di C induce un errore molto superiore all’errore dovuto alla correzione in funzione della temperatura, il termine (0,70 + 0,30T) viene omesso dalla maggior parte degli autori.

Considerazioni conclusive

La formula di Hazen consente di ricavare un valore approssimato di permeabilità in funzione del valore di D₁₀.
La relazione è del tipo:

e risulta applicabile in terreni granulari sciolti se 0,1 mm < D₁₀ < 3 mm e se C_U < 5. Se k è espresso in metri/sec e D₁₀ è espresso in mm, in mancanza di ulteriori informazioni si può assumere C = 0,01.